Espacios vectoriales

La idea de vector está tomada de la Física, donde sirven para representar magnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de dos componentes en el plano, de tres componentes en el espacio...

Se supone conocida la representación gráfica y manejo de los vectores de ℜ^2 y de ℜ^3 .

En Matemáticas, tratamos de abstraer las propiedades que caracterizan a los vectores para extenderlas también a otro tipo de objetos diferentes de los vectores de la Física. Esencialmente, el comportamiento que caracteriza a los vectores es el siguiente:

• Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector; 

• Podemos multiplicar un vector por un número (escalar) y obtenemos otro vector.

Además estas operaciones cumplen ciertas propiedades, que observamos en los vectores de ℜ 2 y de ℜ 3 

Los vectores del plano son el ejemplo motivador de un concepto mucho mas general y abstracto "El espacio vectorial" 

Un vector fijo en el plano es un segmento orientado con origen en el punto A y extremo en el punto B. A este vector lo denotamos AB con una flechita encima que indica que se trata con un vector con dichos puntos por origen y extremo. 

Los elementos de un vector fijo son:

Modulo: Que es la distancia que separa su origen de su extremo y la representamos con el vector AB entre barras 

Dirección: Es la dirección de la recta que pasa por su origen y por su extremo y la de todas sus paralelas

Sentido: Es el sentido determinado a ir desde el origen al extremo 

Otro concepto que resulta interesante es el vector libre. 

Un vector libre es un conjunto de todos los vectores que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido, todos estos vectores se dice que son equipolentes.

Cualquiera de los vectores de este conjunto puede tomarse como representante del vector libre. Entre todos los representantes de un vector libre existe uno que es especialmente importante y es el que tiene su origen en el origen de coordenadas, este es el punto de coordenadas (0,0)

Ejemplo: Cuales son las coordenadas del vector libre correspondiente al vector de origen del punto A(3,2)  y extremo el punto B(2,5)

Es decir cuales son las coordenadas del extremo del vector equipolente con origen el el punto (0,0) 

Como se ve en la imagen, basta con hacer la operación extremo menos origen es decir restarle al punto (2,5) el punto (3,2) coordenada a coordenada obteniendo el punto (-1,3)

Las coordenadas del vector libre son (-1,3)

Unas de las ventajas que tienen los vectores libres sobre los vectores fijos es que se pueden sumar. 

Los vectores libres el plano con las operaciones de suma y multiplicación de un escalar constituyen el ejemplo motivador de unas de las definiciones fundamentales, la definición de espacio vectorial. De este modo:

Definición

Un espacio vectorial sobre el cuerpo K a cuyos elementos llamaremos escalares es un conjunto V a cuyos elementos llamaremos vectores dotado de dos operaciones:

•  Una operación + en el conjunto V de forma que (V+) es un grupo abeliano, esto es la suma de vectores es un vector, esta suma es asociativa, existe un elemento neutro y todo un vector tiene uno opuesto 

• Una multiplicación de escalares del cuerpo K por elementos del conjunto v 

. : K x V --> V

que satisface las siguientes propiedades:

La multiplicación de escalares por vectores satisface la propiedad distributiva para la suma de vectores

La multiplicación de escalares por vectores satisface la propiedad distributiva para la suma de escalares

Se llama propiedad pseudosociativa y nos dice que multiplicar dos escalares y su resultado multiplicarlo por un vector, nos da un vector que es igual al resultado de multiplicar el segundo escalar por el vector y dicho vector multiplicarlo por el primer escalar.

Axioma llamado propiedad modular, dice que multiplicar el elemento neutro de la multiplicación del cuerpo k, esto es el 1 por cualquier vector V nos da el mismo vector V, es decir, el neutro de la multiplicación de escalares también es neutro para la multiplicación de escalares por vectores.

u = Conjunto universal: Ese conjunto universal va a tener lo que tiene de espacio y contiene la totalidad de los elementos.

v= conjunto vacío: Dentro del conjunto puede ser una suma de elementos, multiplicarlo por un escalar y si ese conjunto con esa suma y esa multiplicación cumplen las 9 propiedades es un espacio vectorial.

En lo sucesivo, utilizaremos habitualmente la siguiente notación: u,v,w (u otras letras latinas) para vectores, mientras que las letras griegas designarán escalares.

Propiedades para comprobar que es un espacio vectorial

Ejemplo de espacios vectoriales 

1) Ejemplo de polinomio de grado 5 R^5 [X]

Conjunto 1 

Conjunto 2

2) El espacio , formado por los vectores de n componentes (x1, . . .,xn) es un espacio vectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual.

Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambas operaciones. El vector cero es (0,. . .,0). 

No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos (si lo hacemos, el resultado no se mantendrá dentro de ).

3) Consideremos el conjunto P2 de los polinomios de grado ≤ 2 con coeficientes reales:

Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos elementos de P2 y obtenemos otro elemento de P2 ; también podemos multiplicar un elemento de P2 por un escalar real y obtenemos otro elemento de P2. Veámoslo:

Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas. El vector es el polinomio cero: 

No es un espacio vectorial complejo, pues al multiplicar por un escalar complejo el resultado podrá ser un polinomio complejo que no pertenece a P2.

4) Consideremos el conjunto G de los polinomios de grado = 3 (exactamente 3) con coeficientes reales. 

No es un espacio vectorial (real ni complejo), pues al sumar dos elementos de G, no está garantizado que el resultado esté en G. En efecto, consideremos los polinomios 

Pertenecen a G, pues su grado es 3. Pero su suma es que no pertenece a G (su grado no es 3).  

5) Consideremos el conjunto M2x2 (también denotado por M2) de las matrices 2x2 con términos reales:

Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de M2x2 obteniendo otra matriz de M2x2  , y multiplicar una matriz de M2x2  por un escalar real obteniendo otra matriz de M2x2. Se puede comprobar que se cumplen las propiedades. El vector  es, en este caso, la matriz con todos sus términos nulos. 

No es un espacio vectorial complejo. 

6) Consideremos el conjunto MC de las matrices 2x3 con términos complejos.
Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de MC obteniendo otra matriz de MC, y multiplicar un elemento de MC por un escalar real obteniendo otra matriz de MC.
También es un espacio vectorial complejo, pues podemos multiplicar una matriz de MC por un escalar complejo obteniendo otra matriz de MC.

7) Consideremos el conjunto ME de las matrices 3x2 con términos enteros. Podemos sumar dos matrices de ME y obtenemos otro elemento de ME:

En efecto, si tomamos con a, a’, b, b’, c, c’, d, d’ enteros,

también tiene términos enteros, luego pertenece a ME.  

Sin embargo ME no es un espacio vectorial real, pues al multiplicar un elemento de ME por un escalar real no está garantizado que el resultado permanezca dentro de ME. Si el escalar es p.ej. el número real 1.25, el resultado ya no es una matriz con términos enteros. 

Por similar razón tampoco es un espacio vectorial complejo.

Observación

En algunos espacios vectoriales reales, distintos de ℜ^n , puede hacerse un “paralelismo” o “identificación” con ℜ^n , para un n adecuado.

Por ejemplo, ya hemos visto cómo el espacio vectorial real C de los números complejos puede identificarse con ℜ^2 , correspondiendo el número complejo a+bi al vector (a,b)

Veamos cómo el espacio P2 = { polinomios de grado ≤ 2 } puede identificarse con ℜ^3 : cada polinomio correspondería al vector (a,b, c) de ℜ^3.

 

Lo mismo ocurre con el espacio de matrices M2x2 = { matrices 2x2 }, que se identifica con ℜ^4 , correspondiendo a la matriz el vector (a,b,c,d). 

En todos los casos las operaciones de suma y producto por escalar se pueden trasladar paralelamente del espacio considerado a ℜ^n.

Esto hace posible efectuar las operaciones en ℜ^n en lugar de otros espacios.

Dado un espacio vectorial V, podemos considerar una parte S de él que funcione como un espacio vectorial “más pequeño”, incluido en V. 

Como V es un espacio vectorial, posee unas operaciones (suma, producto por un escalar) que en particular se pueden efectuar en S. Sólo necesitaremos que, al efectuarlas, su resultado quede dentro de S.

Subespacios vectoriales 

Dado un espacio vectorial V, podemos considerar una parte S de él que funcione como un espacio vectorial “más pequeño”, incluido en V. 

Como V es un espacio vectorial, posee unas operaciones (suma, producto por un escalar) que en particular se pueden efectuar en S. Sólo necesitaremos que, al efectuarlas, su resultado quede dentro de S. 

Definición: Subespacio. 

Dado un espacio vectorial V, se dice que un subconjunto S de V es un subespacio vectorial si contiene al vector  , y si al efectuar las operaciones de suma y producto por escalar entre vectores de S, el resultado permanece en S.

(Se puede decir que S es “cerrado” para las operaciones suma y producto por escalar.)

Es decir:

Ya no hace falta comprobar que se cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, etc. puesto que sabemos que se cumplen en V, y por tanto también en S (se dice que S “hereda” las propiedades de las operaciones en V). 

Por supuesto si para V utilizamos escalares reales, también para S; si para V utilizamos complejos, también para S.  

Ejemplo de subespacios vectoriales

1) Determine el valor de x para que el vector (1, x, 5) en R3, pertenezca al

subespacio < (1,2,3), ( 1,1,1)>

2) La recta x=y es un subespacio Está formado por los vectores de la forma (a, a). Contiene al vector (0,0). 

Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:

  

3) ¿Es un subespacio de el conjunto de los vectores de la forma (a,1)? 

No, puesto que no contiene al (0,0). 

O también: porque no se puede sumar dentro de este conjunto, por ejemplo (a,1)+(b,1)=(a+b,2) que no pertenece al conjunto.

4)

Dependencia e independencia lineal

Definición: Combinación lineal.

Dado un conjunto de vectores v1, . . ., vn se llama una combinación lineal de ellos a cualquier vector de la forma .

donde α1 , . . . , αn son escalares, llamados coeficientes de la combinación lineal. 

 
Teorema. 

Para probar que un conjunto S es subespacio, basta probar que:

La combinación lineal de elementos de S está en S. 

(Ello es debido a que calcular una combinación lineal de vectores involucra tanto la suma como el producto por escalares, así que equivale a probar ambas cosas por separado). 

Esto se suele expresar diciendo que un subespacio es un conjunto “cerrado” para las combinaciones lineales. 

Ejemplo. 

Veamos si es subespacio de el conjunto U={ (λ, λ) : λ ∈ ℜ }. 

Tomamos dos elementos genéricos de U, (λ, λ) y (µ, µ). Una combinación lineal de ellos es:

 α (λ, λ) + β (µ, µ) = (αλ+βµ, αλ+βµ) que también es un elemento de U. 

Por tanto U es subespacio.

Definición: Dependencia lineal. 

Se dice que un conjunto de vectores es linealmente dependiente (o ligado) si: 

(a) Al menos uno de ellos es combinación lineal de los demás. Esto se puede expresar también así:

(b) El vector  es combinación lineal de ellos (con coeficientes no todos nulos).

Ejemplo 

Sean en los vectores u=(1,1), v=(0,3), w=(2,5).

• Observamos que son linealmente dependientes por (a): 

w es combinación lineal de u y v , puesto que w = v+2u.

(pueden encontrarse también otras combinaciones, como u = 1/2 w – 1/2 v, etc.)

• También podemos verlo por (b):

   es combinación lineal de u, v , w puesto que = v+2u–w, (y los coeficientes de esta combinación lineal son 1, 2, –1 que no son todos nulos). 

Si un conjunto es linealmente dependiente, entonces por (a) sabremos que existe algún vector entre ellos que es combinación lineal de los demás. Pero esto no quiere decir que “cualquier” vector de ellos sea combinación lineal de los demás.

Por ejemplo, el siguiente conjunto en podemos comprobar que es ligado: 

 u=(1,0,0), v=(0,1,0), w=(1,1,0), k=(0,0,1),  

ya que, por (a), tenemos que w = u + v (es decir, w=1u + 1v + 0k ), hay un vector que es combinación lineal de los demás. Pero no “cualquier” vector lo es, puesto que k no es combinación lineal de los demás. Esto se puede ver poniendo 

(0,0,1) = α (1,0,0) + β (0,1,0) + γ (1,1,0)

y viendo que se obtiene un sistema incompatible.

Definición: Independencia lineal.

En caso de que un conjunto de vectores no sea linealmente dependiente, se dice que es linealmente independiente ( o libre ). 

Por tanto, escribiendo la negación de la definición de dependencia lineal, tendremos que un conjunto de vectores es linealmente independiente cuando:

(a) Ninguno de ellos es combinación lineal de los demás. O equivalentemente: 

(b) El vector  no es combinación lineal de ellos, a no ser que la combinación tenga coeficientes todos nulos. 

Expresando (b) de otra manera, 

(b) La única forma de poner como combinación lineal de los vectores, es con todos los coeficientes nulos. 

Observación.

La definición de dependencia lineal no es: “ v, w son independientes si 0v + 0w =  ” 

Esa afirmación no aporta nada, puesto que se cumple para todos los vectores, dependientes o no. 

De lo que se trata, es de ver si esa es la única manera de poner como combinación lineal de ellos.