Espacios vectoriales

La idea de vector está tomada de la Física, donde sirven para representar magnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de dos componentes en el plano, de tres componentes en el espacio...

Se supone conocida la representación gráfica y manejo de los vectores de ℜ^2 y de ℜ^3 .

En Matemáticas, tratamos de abstraer las propiedades que caracterizan a los vectores para extenderlas también a otro tipo de objetos diferentes de los vectores de la Física. Esencialmente, el comportamiento que caracteriza a los vectores es el siguiente:

• Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector; 

• Podemos multiplicar un vector por un número (escalar) y obtenemos otro vector.

Además estas operaciones cumplen ciertas propiedades, que observamos en los vectores de ℜ 2 y de ℜ 3 

Los vectores del plano son el ejemplo motivador de un concepto mucho mas general y abstracto "El espacio vectorial" 

Un vector fijo en el plano es un segmento orientado con origen en el punto A y extremo en el punto B. A este vector lo denotamos AB con una flechita encima que indica que se trata con un vector con dichos puntos por origen y extremo. 

Los elementos de un vector fijo son:

Modulo: Que es la distancia que separa su origen de su extremo y la representamos con el vector AB entre barras 

Dirección: Es la dirección de la recta que pasa por su origen y por su extremo y la de todas sus paralelas

Sentido: Es el sentido determinado a ir desde el origen al extremo 

Otro concepto que resulta interesante es el vector libre. 

Un vector libre es un conjunto de todos los vectores que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido, todos estos vectores se dice que son equipolentes.

Cualquiera de los vectores de este conjunto puede tomarse como representante del vector libre. Entre todos los representantes de un vector libre existe uno que es especialmente importante y es el que tiene su origen en el origen de coordenadas, este es el punto de coordenadas (0,0)

Ejemplo: Cuales son las coordenadas del vector libre correspondiente al vector de origen del punto A(3,2)  y extremo el punto B(2,5)

Es decir cuales son las coordenadas del extremo del vector equipolente con origen el el punto (0,0) 

Como se ve en la imagen, basta con hacer la operación extremo menos origen es decir restarle al punto (2,5) el punto (3,2) coordenada a coordenada obteniendo el punto (-1,3)

Las coordenadas del vector libre son (-1,3)

Unas de las ventajas que tienen los vectores libres sobre los vectores fijos es que se pueden sumar. 

Los vectores libres el plano con las operaciones de suma y multiplicación de un escalar constituyen el ejemplo motivador de unas de las definiciones fundamentales, la definición de espacio vectorial. De este modo:

Definición

Un espacio vectorial sobre el cuerpo K a cuyos elementos llamaremos escalares es un conjunto V a cuyos elementos llamaremos vectores dotado de dos operaciones:

•  Una operación + en el conjunto V de forma que (V+) es un grupo abeliano, esto es la suma de vectores es un vector, esta suma es asociativa, existe un elemento neutro y todo un vector tiene uno opuesto 

• Una multiplicación de escalares del cuerpo K por elementos del conjunto v 

. : K x V --> V

que satisface las siguientes propiedades:

La multiplicación de escalares por vectores satisface la propiedad distributiva para la suma de vectores

La multiplicación de escalares por vectores satisface la propiedad distributiva para la suma de escalares

Se llama propiedad pseudosociativa y nos dice que multiplicar dos escalares y su resultado multiplicarlo por un vector, nos da un vector que es igual al resultado de multiplicar el segundo escalar por el vector y dicho vector multiplicarlo por el primer escalar.

Axioma llamado propiedad modular, dice que multiplicar el elemento neutro de la multiplicación del cuerpo k, esto es el 1 por cualquier vector V nos da el mismo vector V, es decir, el neutro de la multiplicación de escalares también es neutro para la multiplicación de escalares por vectores.

u = Conjunto universal: Ese conjunto universal va a tener lo que tiene de espacio y contiene la totalidad de los elementos.

v= conjunto vacío: Dentro del conjunto puede ser una suma de elementos, multiplicarlo por un escalar y si ese conjunto con esa suma y esa multiplicación cumplen las 9 propiedades es un espacio vectorial.

En lo sucesivo, utilizaremos habitualmente la siguiente notación: u,v,w (u otras letras latinas) para vectores, mientras que las letras griegas designarán escalares.

Propiedades para comprobar que es un espacio vectorial

Ejemplo de espacios vectoriales 

1) Ejemplo de polinomio de grado 5 R^5 [X]

Conjunto 1 

Conjunto 2

2) El espacio , formado por los vectores de n componentes (x1, . . .,xn) es un espacio vectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual.

Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambas operaciones. El vector cero es (0,. . .,0). 

No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos (si lo hacemos, el resultado no se mantendrá dentro de ).

3) Consideremos el conjunto P2 de los polinomios de grado ≤ 2 con coeficientes reales:

Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos elementos de P2 y obtenemos otro elemento de P2 ; también podemos multiplicar un elemento de P2 por un escalar real y obtenemos otro elemento de P2. Veámoslo:

Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas. El vector es el polinomio cero: 

No es un espacio vectorial complejo, pues al multiplicar por un escalar complejo el resultado podrá ser un polinomio complejo que no pertenece a P2.

4) Consideremos el conjunto G de los polinomios de grado = 3 (exactamente 3) con coeficientes reales. 

No es un espacio vectorial (real ni complejo), pues al sumar dos elementos de G, no está garantizado que el resultado esté en G. En efecto, consideremos los polinomios 

Pertenecen a G, pues su grado es 3. Pero su suma es que no pertenece a G (su grado no es 3).  

5) Consideremos el conjunto M2x2 (también denotado por M2) de las matrices 2x2 con términos reales:

Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de M2x2 obteniendo otra matriz de M2x2  , y multiplicar una matriz de M2x2  por un escalar real obteniendo otra matriz de M2x2. Se puede comprobar que se cumplen las propiedades. El vector  es, en este caso, la matriz con todos sus términos nulos. 

No es un espacio vectorial complejo. 

6) Consideremos el conjunto MC de las matrices 2x3 con términos complejos.
Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de MC obteniendo otra matriz de MC, y multiplicar un elemento de MC por un escalar real obteniendo otra matriz de MC.
También es un espacio vectorial complejo, pues podemos multiplicar una matriz de MC por un escalar complejo obteniendo otra matriz de MC.

7) Consideremos el conjunto ME de las matrices 3x2 con términos enteros. Podemos sumar dos matrices de ME y obtenemos otro elemento de ME:

En efecto, si tomamos con a, a’, b, b’, c, c’, d, d’ enteros,

también tiene términos enteros, luego pertenece a ME.  

Sin embargo ME no es un espacio vectorial real, pues al multiplicar un elemento de ME por un escalar real no está garantizado que el resultado permanezca dentro de ME. Si el escalar es p.ej. el número real 1.25, el resultado ya no es una matriz con términos enteros. 

Por similar razón tampoco es un espacio vectorial complejo.

Observación

En algunos espacios vectoriales reales, distintos de ℜ^n , puede hacerse un “paralelismo” o “identificación” con ℜ^n , para un n adecuado.

Por ejemplo, ya hemos visto cómo el espacio vectorial real C de los números complejos puede identificarse con ℜ^2 , correspondiendo el número complejo a+bi al vector (a,b)

Veamos cómo el espacio P2 = { polinomios de grado ≤ 2 } puede identificarse con ℜ^3 : cada polinomio correspondería al vector (a,b, c) de ℜ^3.

 

Lo mismo ocurre con el espacio de matrices M2x2 = { matrices 2x2 }, que se identifica con ℜ^4 , correspondiendo a la matriz el vector (a,b,c,d). 

En todos los casos las operaciones de suma y producto por escalar se pueden trasladar paralelamente del espacio considerado a ℜ^n.

Esto hace posible efectuar las operaciones en ℜ^n en lugar de otros espacios.

Dado un espacio vectorial V, podemos considerar una parte S de él que funcione como un espacio vectorial “más pequeño”, incluido en V. 

Como V es un espacio vectorial, posee unas operaciones (suma, producto por un escalar) que en particular se pueden efectuar en S. Sólo necesitaremos que, al efectuarlas, su resultado quede dentro de S.

Subespacios vectoriales 

Dado un espacio vectorial V, podemos considerar una parte S de él que funcione como un espacio vectorial “más pequeño”, incluido en V. 

Como V es un espacio vectorial, posee unas operaciones (suma, producto por un escalar) que en particular se pueden efectuar en S. Sólo necesitaremos que, al efectuarlas, su resultado quede dentro de S. 

Definición: Subespacio. 

Dado un espacio vectorial V, se dice que un subconjunto S de V es un subespacio vectorial si contiene al vector  , y si al efectuar las operaciones de suma y producto por escalar entre vectores de S, el resultado permanece en S.

(Se puede decir que S es “cerrado” para las operaciones suma y producto por escalar.)

Es decir:

Ya no hace falta comprobar que se cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, etc. puesto que sabemos que se cumplen en V, y por tanto también en S (se dice que S “hereda” las propiedades de las operaciones en V). 

Por supuesto si para V utilizamos escalares reales, también para S; si para V utilizamos complejos, también para S.  

Ejemplo de subespacios vectoriales

1) Determine el valor de x para que el vector (1, x, 5) en R3, pertenezca al

subespacio < (1,2,3), ( 1,1,1)>

2) La recta x=y es un subespacio Está formado por los vectores de la forma (a, a). Contiene al vector (0,0). 

Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:

  

3) ¿Es un subespacio de el conjunto de los vectores de la forma (a,1)? 

No, puesto que no contiene al (0,0). 

O también: porque no se puede sumar dentro de este conjunto, por ejemplo (a,1)+(b,1)=(a+b,2) que no pertenece al conjunto.

4)

Dependencia e independencia lineal

Definición: Combinación lineal.

Dado un conjunto de vectores v1, . . ., vn se llama una combinación lineal de ellos a cualquier vector de la forma .

donde α1 , . . . , αn son escalares, llamados coeficientes de la combinación lineal. 

 
Teorema. 

Para probar que un conjunto S es subespacio, basta probar que:

La combinación lineal de elementos de S está en S. 

(Ello es debido a que calcular una combinación lineal de vectores involucra tanto la suma como el producto por escalares, así que equivale a probar ambas cosas por separado). 

Esto se suele expresar diciendo que un subespacio es un conjunto “cerrado” para las combinaciones lineales. 

Ejemplo. 

Veamos si es subespacio de el conjunto U={ (λ, λ) : λ ∈ ℜ }. 

Tomamos dos elementos genéricos de U, (λ, λ) y (µ, µ). Una combinación lineal de ellos es:

 α (λ, λ) + β (µ, µ) = (αλ+βµ, αλ+βµ) que también es un elemento de U. 

Por tanto U es subespacio.

Definición: Dependencia lineal. 

Se dice que un conjunto de vectores es linealmente dependiente (o ligado) si: 

(a) Al menos uno de ellos es combinación lineal de los demás. Esto se puede expresar también así:

(b) El vector  es combinación lineal de ellos (con coeficientes no todos nulos).

Ejemplo 

Sean en los vectores u=(1,1), v=(0,3), w=(2,5).

• Observamos que son linealmente dependientes por (a): 

w es combinación lineal de u y v , puesto que w = v+2u.

(pueden encontrarse también otras combinaciones, como u = 1/2 w – 1/2 v, etc.)

• También podemos verlo por (b):

   es combinación lineal de u, v , w puesto que = v+2u–w, (y los coeficientes de esta combinación lineal son 1, 2, –1 que no son todos nulos). 

Si un conjunto es linealmente dependiente, entonces por (a) sabremos que existe algún vector entre ellos que es combinación lineal de los demás. Pero esto no quiere decir que “cualquier” vector de ellos sea combinación lineal de los demás.

Por ejemplo, el siguiente conjunto en podemos comprobar que es ligado: 

 u=(1,0,0), v=(0,1,0), w=(1,1,0), k=(0,0,1),  

ya que, por (a), tenemos que w = u + v (es decir, w=1u + 1v + 0k ), hay un vector que es combinación lineal de los demás. Pero no “cualquier” vector lo es, puesto que k no es combinación lineal de los demás. Esto se puede ver poniendo 

(0,0,1) = α (1,0,0) + β (0,1,0) + γ (1,1,0)

y viendo que se obtiene un sistema incompatible.

Definición: Independencia lineal.

En caso de que un conjunto de vectores no sea linealmente dependiente, se dice que es linealmente independiente ( o libre ). 

Por tanto, escribiendo la negación de la definición de dependencia lineal, tendremos que un conjunto de vectores es linealmente independiente cuando:

(a) Ninguno de ellos es combinación lineal de los demás. O equivalentemente: 

(b) El vector  no es combinación lineal de ellos, a no ser que la combinación tenga coeficientes todos nulos. 

Expresando (b) de otra manera, 

(b) La única forma de poner como combinación lineal de los vectores, es con todos los coeficientes nulos. 

Observación.

La definición de dependencia lineal no es: “ v, w son independientes si 0v + 0w =  ” 

Esa afirmación no aporta nada, puesto que se cumple para todos los vectores, dependientes o no. 

De lo que se trata, es de ver si esa es la única manera de poner como combinación lineal de ellos.

Portafolio (2) Álgebra Lineal

 Métodos de solución de ecuaciones 

En esta sección se mencionan las relaciones lineales, pues gran parte del álgebra lineal estudia y desarrolla relaciones lineales, las cuales son una generalización de la ecuación de una recta. 
Definición
Un sistema de ecuaciones se dice que es lineal si todas las ecuaciones que lo componen son lineales en los escalares desconocidos o incógnitas x1, x2,...,xn. Es decir, son de la forma: 
α1x1 + α2x2 + ... + αjxj + ... + αnxn = β,
donde αi, i = 1, 2,...,n y β habitualmente son números reales, números complejos o funciones. Entonces, en una ecuación lineal no pueden aparecer productos o potencias de las incógnitas x1, x2,...,xj ,...,xn. 
El sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial así:

Tipo de Sistemas de Ecuaciones 

Dependiendo del número de soluciones que tengan los sistemas de ecuaciones lineales tendremos:
* Sistema Incompatible: no tiene solución. 
* Sistema Compatible Determinado (SCD): posee una única solución. 
* Sistema Compatible Indeterminado (SCI): posee infinitas soluciones.

Ejemplos

Observamos que el número de filas no nulas < número de incógnitas. Número de parámetros= número de incógnitas – número de filas no nulas = 3-2= 1 parámetro.

Una vez conseguida la matriz escalonada, observamos que en la fila 3 todos los términos son iguales a cero exceptuando el término independiente que es distinto de cero (0 ≠ -2 )--> El Sistema es Incompatible ( No tiene solución).



Hay varios métodos para la solución de sistemas de ecuaciones, entre ellos los más habituales:

*Método de Reducción

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de reducción seguiremos los siguientes pasos: 
·         1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por un numero tal que las ecuaciones resultantes tengan un coeficiente en común
·         2. Realizamos una resta (o suma según sea el caso de los signos de los coeficientes) para desaparecer (eliminar) una de las incógnitas
·         3. Se resuelve la ecuación resultante 
·         4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve
·         5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo

* Método de Igualación

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de igualación seguiremos los siguientes pasos: 
·         1. Se despejan en las dos ecuaciones la misma incógnita 
·         2. Se igualan los dos valores despejados obteniendo una sola ecuación con una sola incógnita.
·         3. Se resuelve la ecuación resultante.
·         4. Se sustituye el valor conseguido de la incógnita en cualquiera de las dos expresiones obtenidas en el paso 1. Se obtiene una sola ecuación con una incógnita. Al resolverla conseguimos la solución completa del sistema.
·   Ejemplo

*Método de Sustitución

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución seguiremos los siguientes pasos:
·         1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones
·         2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita
·         3. Se resuelve la ecuación 
·         4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada
·         5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema
       Ejemplo

* Método de Eliminación de Gauss

El Método de eliminación de Gauss o simplemente método de Gauss consiste en convertir un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas , en uno escalonado, en el que la primera ecuación tiene n incógnitas, la segunda ecuación tiene n-1 incógnitas,..., hasta la última ecuación que tiene 1 incógnita.

Por ejemplo:

El sistema transformado en matriz:

Si te fijas, ya podemos despejar directamente una de las incógnitas. Por tanto, este tipo de sistemas es muy fácil de resolver obteniendo el valor de las incógnitas de abajo hacia arriba. De esta manera, podemos ir sustituyendo los valores obtenidos en las anteriores.

z=2

Sustituimos el valor de “z” en la segunda ecuación y obtenemos el valor de “y”:

y+3.(2)=8;

 y=8-6=2
y=+2

Sustituimos el valor de “z” e “y” en la primera ecuación y obtenemos “x”:

 y=2

x+(2)+3.(2)=-8;

 x=-16

Si nuestro sistema no es un sistema escalonado, lo podemos resolver mediante el método de Gauss. El método consiste en  “hacemos cero”, es decir, sometemos a las ecuaciones a transformaciones elementales:

• Multiplicamos por un número distinto de cero.
• Sumar una ecuación a otra multiplicada por un número.

Ejemplo

 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss.
Primero se debe tener ya el sistema de ecuaciones que se quiere resolver y que puede ser de n numero de variables por ejemplo:

 x  + 2y - 3z = -16
3x +  y  - 2z = -10

2x - 3y +  z  = -4

Se acomodan los coeficientes y los resultados en una matriz:

* Método de Gauss Jordan

El método de Gauss-Jordan utiliza operaciones con matrices para resolver sistemas de ecuaciones de n numero de variables. Para aplicar este método solo hay que recordar que cada operación que se realice se aplicara a toda la fila o a toda la columna en su caso. El objetivo de este método es tratar de convertir la parte de la matriz donde están los coeficientes de las variables en una matriz identidad. Esto se logra mediante simples operaciones de suma, resta y multiplicación.

El procedimiento es el siguiente:

Primero se debe tener ya el sistema de ecuaciones que se quiere resolver y que puede ser de n numero de variables por ejemplo:

 x +  y +  z  =  3

   2y + 3z = 15

2x + 4y 5z =  21

Se acomodan los coeficientes y los resultados en una matriz:

En el ejemplo, el 2 de la tercera fila se tiene que convertir en un 0, así que a la fila 3 le vamos a asignar la fila 3, menos 2 veces la fila 1, pero como una operación se aplica a toda la fila, entonces toda la tercera fila se le tiene que aplicar la misma operación:

Realizamos aparte la operación y luego sustituimos esos valores resultantes en la fila 3.

Seguimos cambiando los valores de la tercera fila con operaciones elementales.

El siguiente paso para lograr una matriz identidad es obtener 1 en la diagonal principal, que en este caso dividiríamos cada valor de la fila por 1 sobre el valor que haya en la fila.
Las divisiones se las aplicamos a cada valor de la fila.

Al encontrar la matriz identidad se encuentra la solución del sistema de ecuaciones, pues esto se traduce a:
las cuales resuelven el sistema de ecuaciones de forma simultánea.

Como puede verse el método Gauss-Jordan es una herramienta útil en la resolución de
este tipo de problemas y actualmente existen programas matemáticos que lo utilizan para una gran variedad de cálculos en una gran variedad de áreas, tanto científicas como socioeconómicas.

* Regla de Cramer

En álgebra lineal, la regla de Cramer es una fórmula explícita para la solución de un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones como incógnitas.
La regla de Cramer es válida siempre que el sistema tenga una solución única.
La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones:
 1. El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
 2. El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas son sistemas compatibles determinados y se denominan sistemas de Cramer.

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes,

Todo sistema de Cramer tiene una sola solución (es decir, es un sistema compatible determinado) que viene dada por las siguientes expresiones:

donde  son los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

Ejemplo por Regla de Cramer 2x2

Notemos que el número de ecuaciones de este sistema es igual al número de incógnitas.

Dado que , tenemos que el sistema es un sistema de Cramer y tiene como soluciones.

Para verificar de que los valores encontrados sean los correctos, lo reemplazamos en la ecuación.

Ejemplo por Regla de Cramer 3x3

Notemos que el número de ecuaciones de este sistema es igual al número de incógnitas.

Para fácil solución del sistema de ecuación por la Regla de Cramer se recomienda duplicar las dos primeras filas. 

Dado que , tenemos que el sistema es un sistema de Cramer y tiene como soluciones.

Para verificar de que los valores encontrados sean los correctos, lo reemplazamos en la ecuación.