Portafolio (2) Álgebra Lineal

 Métodos de solución de ecuaciones 

En esta sección se mencionan las relaciones lineales, pues gran parte del álgebra lineal estudia y desarrolla relaciones lineales, las cuales son una generalización de la ecuación de una recta. 
Definición
Un sistema de ecuaciones se dice que es lineal si todas las ecuaciones que lo componen son lineales en los escalares desconocidos o incógnitas x1, x2,...,xn. Es decir, son de la forma: 
α1x1 + α2x2 + ... + αjxj + ... + αnxn = β,
donde αi, i = 1, 2,...,n y β habitualmente son números reales, números complejos o funciones. Entonces, en una ecuación lineal no pueden aparecer productos o potencias de las incógnitas x1, x2,...,xj ,...,xn. 
El sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial así:

Tipo de Sistemas de Ecuaciones 

Dependiendo del número de soluciones que tengan los sistemas de ecuaciones lineales tendremos:
* Sistema Incompatible: no tiene solución. 
* Sistema Compatible Determinado (SCD): posee una única solución. 
* Sistema Compatible Indeterminado (SCI): posee infinitas soluciones.

Ejemplos

Observamos que el número de filas no nulas < número de incógnitas. Número de parámetros= número de incógnitas – número de filas no nulas = 3-2= 1 parámetro.

Una vez conseguida la matriz escalonada, observamos que en la fila 3 todos los términos son iguales a cero exceptuando el término independiente que es distinto de cero (0 ≠ -2 )--> El Sistema es Incompatible ( No tiene solución).



Hay varios métodos para la solución de sistemas de ecuaciones, entre ellos los más habituales:

*Método de Reducción

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de reducción seguiremos los siguientes pasos: 
·         1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por un numero tal que las ecuaciones resultantes tengan un coeficiente en común
·         2. Realizamos una resta (o suma según sea el caso de los signos de los coeficientes) para desaparecer (eliminar) una de las incógnitas
·         3. Se resuelve la ecuación resultante 
·         4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve
·         5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo

* Método de Igualación

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de igualación seguiremos los siguientes pasos: 
·         1. Se despejan en las dos ecuaciones la misma incógnita 
·         2. Se igualan los dos valores despejados obteniendo una sola ecuación con una sola incógnita.
·         3. Se resuelve la ecuación resultante.
·         4. Se sustituye el valor conseguido de la incógnita en cualquiera de las dos expresiones obtenidas en el paso 1. Se obtiene una sola ecuación con una incógnita. Al resolverla conseguimos la solución completa del sistema.
·   Ejemplo

*Método de Sustitución

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución seguiremos los siguientes pasos:
·         1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones
·         2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita
·         3. Se resuelve la ecuación 
·         4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada
·         5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema
       Ejemplo

* Método de Eliminación de Gauss

El Método de eliminación de Gauss o simplemente método de Gauss consiste en convertir un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas , en uno escalonado, en el que la primera ecuación tiene n incógnitas, la segunda ecuación tiene n-1 incógnitas,..., hasta la última ecuación que tiene 1 incógnita.

Por ejemplo:

El sistema transformado en matriz:

Si te fijas, ya podemos despejar directamente una de las incógnitas. Por tanto, este tipo de sistemas es muy fácil de resolver obteniendo el valor de las incógnitas de abajo hacia arriba. De esta manera, podemos ir sustituyendo los valores obtenidos en las anteriores.

z=2

Sustituimos el valor de “z” en la segunda ecuación y obtenemos el valor de “y”:

y+3.(2)=8;

 y=8-6=2
y=+2

Sustituimos el valor de “z” e “y” en la primera ecuación y obtenemos “x”:

 y=2

x+(2)+3.(2)=-8;

 x=-16

Si nuestro sistema no es un sistema escalonado, lo podemos resolver mediante el método de Gauss. El método consiste en  “hacemos cero”, es decir, sometemos a las ecuaciones a transformaciones elementales:

• Multiplicamos por un número distinto de cero.
• Sumar una ecuación a otra multiplicada por un número.

Ejemplo

 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss.
Primero se debe tener ya el sistema de ecuaciones que se quiere resolver y que puede ser de n numero de variables por ejemplo:

 x  + 2y - 3z = -16
3x +  y  - 2z = -10

2x - 3y +  z  = -4

Se acomodan los coeficientes y los resultados en una matriz:

* Método de Gauss Jordan

El método de Gauss-Jordan utiliza operaciones con matrices para resolver sistemas de ecuaciones de n numero de variables. Para aplicar este método solo hay que recordar que cada operación que se realice se aplicara a toda la fila o a toda la columna en su caso. El objetivo de este método es tratar de convertir la parte de la matriz donde están los coeficientes de las variables en una matriz identidad. Esto se logra mediante simples operaciones de suma, resta y multiplicación.

El procedimiento es el siguiente:

Primero se debe tener ya el sistema de ecuaciones que se quiere resolver y que puede ser de n numero de variables por ejemplo:

 x +  y +  z  =  3

   2y + 3z = 15

2x + 4y 5z =  21

Se acomodan los coeficientes y los resultados en una matriz:

En el ejemplo, el 2 de la tercera fila se tiene que convertir en un 0, así que a la fila 3 le vamos a asignar la fila 3, menos 2 veces la fila 1, pero como una operación se aplica a toda la fila, entonces toda la tercera fila se le tiene que aplicar la misma operación:

Realizamos aparte la operación y luego sustituimos esos valores resultantes en la fila 3.

Seguimos cambiando los valores de la tercera fila con operaciones elementales.

El siguiente paso para lograr una matriz identidad es obtener 1 en la diagonal principal, que en este caso dividiríamos cada valor de la fila por 1 sobre el valor que haya en la fila.
Las divisiones se las aplicamos a cada valor de la fila.

Al encontrar la matriz identidad se encuentra la solución del sistema de ecuaciones, pues esto se traduce a:
las cuales resuelven el sistema de ecuaciones de forma simultánea.

Como puede verse el método Gauss-Jordan es una herramienta útil en la resolución de
este tipo de problemas y actualmente existen programas matemáticos que lo utilizan para una gran variedad de cálculos en una gran variedad de áreas, tanto científicas como socioeconómicas.

* Regla de Cramer

En álgebra lineal, la regla de Cramer es una fórmula explícita para la solución de un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones como incógnitas.
La regla de Cramer es válida siempre que el sistema tenga una solución única.
La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones:
 1. El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
 2. El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas son sistemas compatibles determinados y se denominan sistemas de Cramer.

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes,

Todo sistema de Cramer tiene una sola solución (es decir, es un sistema compatible determinado) que viene dada por las siguientes expresiones:

donde  son los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

Ejemplo por Regla de Cramer 2x2

Notemos que el número de ecuaciones de este sistema es igual al número de incógnitas.

Dado que , tenemos que el sistema es un sistema de Cramer y tiene como soluciones.

Para verificar de que los valores encontrados sean los correctos, lo reemplazamos en la ecuación.

Ejemplo por Regla de Cramer 3x3

Notemos que el número de ecuaciones de este sistema es igual al número de incógnitas.

Para fácil solución del sistema de ecuación por la Regla de Cramer se recomienda duplicar las dos primeras filas. 

Dado que , tenemos que el sistema es un sistema de Cramer y tiene como soluciones.

Para verificar de que los valores encontrados sean los correctos, lo reemplazamos en la ecuación.

Portafolio 1 Álgebra Lineal

*Álgebra Lineal

Introducción 

El álgebra de matrices es en la actualidad un elemento esencial de los conocimientos matemáticos necesarios para ingenieros y científicos. Además, la comprensión de los métodos fundamentales del álgebra matricial es apropiada para sociólogos, economistas, estudiantes de pedagogía y de comercio.

PROPÓSITO:

Esta actividad tiene como propósito reconocer los conceptos del álgebra matricial para la solución de problemas matemáticos y técnicos como futuro desarrollador de software, quien tendrá que apoyar en la solución a problemas de información en el sector productivo.

ORIENTACIONES:

Los temas que se abordarán son:
1. Matrices; definición, componentes, tipos, características, tamaño.
2. Operaciones elementales entre filas y columnas para reducir una matriz a otra equivalente
3. Matrices especiales, transpuesta, triangular, identidad, inversa, ampliada.
4. Determinante de una matriz. 
5. Matriz inversa. 

                             Matrices

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A,B, …) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b, …), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

Componentes de una matriz 

Una matriz es una tabla rectangular de datos ordenados en filas y columnas. Si una matriz tiene m filas y n columnas, decimos que la matriz es de orden m x n.
Todos los elementos de las matrices se denotan con subíndices aij, el valor de i representa la fila y el valor de j la columna.
Los valores de i van de 1 a m y los valores de j van de 1 a n.
aij es el elemento de la fila i y la columna j 

Tipos de matrices

Existen varios tipos de matrices de acuerdo a su forma y contenido. Los tipos de matrices son los siguientes:

Matriz fila: Es una matriz cuyos valores cuyos valores están definidos en una sola fila, es decir su tamaño es m y n cualquier cantidad.

Matriz rectangular: Es una matriz donde m y n son desiguales. m  ≠ n o tiene más filas o más columnas.

Matriz cuadrada: tengo las mismas filas y columnas m=n 

Matriz simétrica: Es la que cuyos términos arriba de la diagonal superior son iguales a los términos de la diagonal inferior.

Matriz opuesta: Es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A. Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n.

Matriz traspuesta: los que son filas se vuelven columnas y los que son columnas se vuelven filas.

Matriz nula: es la que todos sus términos están en 0.

Matriz columna: Está definido en una sola columna

Matriz diagonal: solamente tiene términos en su diagonal principal. En su triangulo superior e inferior son nulos.

Matriz escalar: Toda su diagonal principal es igual.

Matriz unidad: Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Características de las matrices

* La matriz se compone de filas y columnas.

* Las filas se representan horizontalmente y las columnas verticalmente.

*Los números en la matriz se llaman elementos.

* Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas.

* El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama dimensión de la matriz.

* Dos matrices son iguales  si son de igual dimensión y coincide el valor de los elementos que ocupan la misma posición en ambas.

*Siempre que la matriz tenga el mismo número de filas y de columnas que otra matriz, estas se pueden sumar o restar elemento por elemento.

Igualdad de matrices

Dos matrices son iguales si son del mismo orden (tamaño) y sus elementos respectivos son iguales.$$A,B\in R^{mxn}A=B\iff a_{ij}=b_{ij}\forall i,j$$

                  

Operaciones con matrices

Suma de matrices

Dadas dos o más matrices del mismo orden, el resultado de la suma es otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen como suma de los elementos colocados en el mismo lugar de las matrices sumandos.

Sean $A,B\in R^{m\times n}$ entonces:$$A+B=C\in R^{m\times n}|c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\forall i,j$$

Ejemplo
Sean:

Entonces la suma es:

Resta de matrices 

Dadas dos o más matrices del mismo orden, el resultado de la resta es otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen como la resta de los elementos colocados en el mismo lugar de las matrices sumandos.

Sean dos matrices del mismo tamaño

Entonces:

Producto de un escalar por una matriz

Sean $A\in R^{m\times n},k\in R$, entonces:$$kA=B\in R^{m\times n}|b_{ij}=k{a}_{ij}\forall i,j$$

Cuando $k=–1$, obtenemos la matriz opuesta de A:

Podemos así definir la diferencia (resta) entre dos matrices del mismo tamaño:

$$A–B=A+\left(–B\right)$$O sea:$$A–B=C\in R^{m\times n}|c_{ij}=a_{ij}–b_{ij}$$

Ejemplo

Sean las matrices:

Entonces:

Propiedades de la suma de matrices

a)Clausura: Si se suman dos matrices de tamaño mxn, el resultado es nuevamente una matriz mxn.

b) Asociativa: (A+B)+C= A+(B+C)

A, B Y C son matrices del mismo tamaño.

c) Existencia de la Identidad: Existe una matriz mxn llamada la Matriz cero, 

cuyas entradas son todas iguales a cero.

Con la propiedad A+0 =A, para cualquier matriz Amxn. La matriz cero es

 la identidad de la suma de matrices. 

d) Existencia de la matriz opuesta: 

Para cada matriz A = (aij)mxn existe la matriz -A= (- aij)mxn, 

con la propiedad A+(-A)=0 La matriz -A se llama matriz opuesta de A.

Ejemplo

e) Conmutativa: Si A y B son matrices del mismo tamaño, entonces A+B =B+A, es decir, el orden en que se suman las matrices no altera el resultado.

f) La traza de una suma de matrices: Es la suma de las trazas de las matrices, es decir,

tr (A+B)= tr(A)=tr(A)+tr(B)

Ejemplo: Dada las matrices

a: A+B

b: verificar que tr(A+B) = tr(A)+tr(B)

tr(A)= 2+(-2) +2=2

tr(B)=6+(-4) +(-9) =-7

tr(A+B) =8+(-6) +(-7) =-5 = tr(A)+tr(B)

2-7=-5

Producto de matrices

El resultado de multiplicar dos matrices es otra matriz en la que el elemento que ocupa el lugar  cij  se obtiene sumando los productos parciales que se obtienen al multiplicar todos los elementos de la fila “i” de la primera matriz por los elementos de la columna “j” de la segunda matriz. Es decir, multiplicamos la primera fila por los elementos de la primera columna y el resultado será nuestro nuevo elemento. Para ello, el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el de filas de la segunda. Si no fuese así no podríamos realizar la operación.

Ejemplo:

Observamos como la matriz resultante tiene el número de filas de la primera y el de columnas de la segunda.
Debemos recordar, que las matrices no tienen la propiedad conmutativa. En el caso de que se pudiera operar A.B y B.A el resultado por lo general puede ser diferente.

                      Determinante de una matriz

El determinante de una matriz cuadrada matriz con el mismo número de filas que de columnas se obtiene de restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal de la matriz y la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria de la misma matriz.  

Para poder realizar este cálculo necesitamos una matriz cuadrada de orden m x n, donde m son las filas y n las columnas, siendo siempre m=n. Esto es lo que llamamos dimensión de la matriz. Para matrices de orden superior a 2 x 2, el cálculo se realiza mediante las reglas de Laplace o Sarrus.

A cada matriz cuadrada puede asignársele un número real que llamaremos su determinante y designaremos como $det\left(A\right)$ o $\left|A\right|$ 

Para matrices $2\times 2$ y $3\times 3$ el determinante se calcula como sigue:

Regla de Sarrus

Esta regla nos permite también calcular determinantes de matrices cuadradas de orden 3 y solamente de este orden. Para calcular los determinantes de esta manera debemos dibujar dos conjuntos de dos triángulos opuestos a través de los elementos que componen la matriz. El primer conjunto tendrá dos triángulos que deben cruzar la diagonal principal, mientras que el segundo conjunto tendrá otros dos triángulos que crucen la diagonal secundaria.

Ejemplo

Menor complementario

Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n − 1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.

  

Adjunto

Se llama adjunto de un elemento aij a su menor complementario anteponiendo:

El signo es +    si  i + j  es par.

El signo es −    si  i + j  es impar.

El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una fila (o una columna) por sus adjuntos correspondientes:

  

Ejemplo:

    

= 3(8+5) − 2(0−10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63 

Observemos que este método es especialmente útil si lo usamos apoyándonos en una fila (o columna) que tenga uno o más ceros, siendo más sencillo cuantos más ceros tenga.

En nuestro ejemplo, facilitaría los cálculos hallar el determinante apoyándonos en la primera columna:

Regla de Laplace

Mediante esta regla podremos calcular fácilmente el determinante de matrices de dimensiones iguales y mayores a 3 x 3. De esta forma, simplificamos el cálculo de las matrices de dimensiones elevadas al utilizar la suma de los determinantes de las matrices menores en las que se descompone la matriz inicial.

Ejemplo

Propiedades de los determinantes

1: Si una matriz tiene una línea de ceros el determinante es cero"0"

2: Si una matriz tiene dos líneas iguales su determinante es nulo"0"

3:Si se permutan dos líneas paralelas de una matriz, su determinante cambia de signo.

4: Si multiplicamos todos los elementos de una línea de un determinante por un número diferente de cero, el determinante queda multiplicado por ese número.

5: Si una línea de una matriz se le suma otra línea multiplicada por un número, el determinante no cambia.

6: El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta.

7:Si A tiene matriz inversa A-1, entonces

Inversa de una matriz

En primer lugar, recordemos que para que una matriz cuadrada, A, sea regular, es decir, tenga inversa, es necesario y suficiente que su determinante no sea nulo.

Por tanto, los pasos para calcular la matriz inversa son los siguientes:
1: Hallamos el determinante de A y solo si no es nulo podemos continuar.
2: Calculamos la matriz traspuesta de la adjunta.
3: Cambiamos los signos correspondientes para obtener la matriz adjunta.
4: Creamos una nueva matriz con los menores complementarios de cada elemento.
5: Dividimos la matriz resultante por el determinante de A

Una vez establecidos los pasos, veremos como se resuelve con el siguiente ejemplo:

Siendo la matriz A de 3×3, resolverla por el método de determinantes:

1.Hallamos el determinante de A y solo si no es nulo podemos continuar.

En este caso, vemos que no es nulo, por tanto, es una matriz regular y podemos calcular su inversa.

2.Calculamos la matriz traspuesta de la adjunta.

Ya tenemos la matriz Adjunta de A.

3. Cambiamos los signos correspondientes para obtener la matriz adjunta.

4.Creamos una nueva matriz con los menores complementarios de cada elemento.

Para calcular la matriz, debemos resolver los determinantes de cada uno de los menores.

5.Dividimos la matriz resultante por el determinante de A.

Con esto, hemos terminado nuestro ejercicio y hemos encontrado la solución a nuestra actividad.

 Matriz inversa por el método de Gauss

Llamaremos operaciones elementales fila (sobre una matriz) a las siguientes operaciones:

• Multiplicar una fila por un número distinto de 0.

• Sumar (o restar) a una fila, el múltiplo de otra fila.

• Intercambiar el orden de las filas.

Recordar que, si una matriz cuadrada es regular, entonces podemos realizar un número finito de operaciones elementales fila para transformar la matriz en la matriz identidad.
En el método de Gauss se realizan las mismas operaciones sobre la matriz identidad, transformándose así en la matriz inversa de A.

Ejemplo: 

Los pasos del método de Gauss son:

1. Escribimos una matriz doble que contiene a la matriz $A$ en un lado y a la matriz identidad en el otro. Por ejemplo,

2.Realizamos operaciones elementales fila para transformar la matriz $A$ en la identidad. En el ejemplo, es suficiente sumar la fila 2 a la fila 1:

Seguimos aplicando operaciones elementales hasta llegar a la matriz identidad de un lado y la inversa en el otro lado.

3. Al terminar, por lo que dijimos anteriormente, la matriz $B$ del lado derecho es, precisamente, la inversa de $A$: $B=A^{-1}$

Propiedades de la matriz inversa