Métodos de solución de ecuaciones

En esta sección se mencionan las relaciones lineales, pues gran parte del álgebra lineal estudia y desarrolla relaciones lineales, las cuales son una generalización de la ecuación de una recta.
Definición
Un sistema de ecuaciones se dice que es lineal si todas las ecuaciones que lo componen son lineales en los escalares desconocidos o incógnitas x1, x2,...,xn. Es decir, son de la forma:
α1x1 + α2x2 + ... + αjxj + ... + αnxn = β,
donde αi, i = 1, 2,...,n y β habitualmente son números reales, números complejos o funciones. Entonces, en una ecuación lineal no pueden aparecer productos o potencias de las incógnitas x1, x2,...,xj ,...,xn.
El sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial así:

Tipo de Sistemas de Ecuaciones

Dependiendo del número de soluciones que tengan los sistemas de ecuaciones lineales tendremos:
* Sistema Incompatible: no tiene solución.
* Sistema Compatible Determinado (SCD): posee una única solución.
* Sistema Compatible Indeterminado (SCI): posee infinitas soluciones.

Ejemplos

Observamos que el número de filas no nulas < número de incógnitas. Número de parámetros= número de incógnitas – número de filas no nulas = 3-2= 1 parámetro.

Una vez conseguida la matriz escalonada, observamos que en la fila 3 todos los términos son iguales a cero exceptuando el término independiente que es distinto de cero (0 ≠ -2 )--> El Sistema es Incompatible ( No tiene solución).

Hay varios métodos para la solución de sistemas de ecuaciones, entre ellos los más habituales:

*Método de Reducción

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de reducción seguiremos los siguientes pasos:
·         1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por un numero tal que las ecuaciones resultantes tengan un coeficiente en común
·         2. Realizamos una resta (o suma según sea el caso de los signos de los coeficientes) para desaparecer (eliminar) una de las incógnitas
·         3. Se resuelve la ecuación resultante
·         4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve
·         5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo

* Método de Igualación

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de igualación seguiremos los siguientes pasos:
·         1. Se despejan en las dos ecuaciones la misma incógnita
·         2. Se igualan los dos valores despejados obteniendo una sola ecuación con una sola incógnita.
·         3. Se resuelve la ecuación resultante.
·         4. Se sustituye el valor conseguido de la incógnita en cualquiera de las dos expresiones obtenidas en el paso 1. Se obtiene una sola ecuación con una incógnita. Al resolverla conseguimos la solución completa del sistema.
· Ejemplo

*Método de Sustitución

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución seguiremos los siguientes pasos:
·         1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones
·         2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita
·         3. Se resuelve la ecuación
·         4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada
·         5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema
Ejemplo

* Método de Eliminación de Gauss

El Método de eliminación de Gauss o simplemente método de Gauss consiste en convertir un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas , en uno escalonado, en el que la primera ecuación tiene n incógnitas, la segunda ecuación tiene n-1 incógnitas,..., hasta la última ecuación que tiene 1 incógnita.

Por ejemplo:

Captura de pantalla 2017-05-15 a las 17.57.20

El sistema transformado en matriz:

Captura de pantalla 2017-05-15 a las 17.57.25

Si te fijas, ya podemos despejar directamente una de las incógnitas. Por tanto, este tipo de sistemas es muy fácil de resolver obteniendo el valor de las incógnitas de abajo hacia arriba. De esta manera, podemos ir sustituyendo los valores obtenidos en las anteriores.

z=2

Sustituimos el valor de “z” en la segunda ecuación y obtenemos el valor de “y”:

y+3.(2)=8;

y=8-6=2
y=+2

Sustituimos el valor de “z” e “y” en la primera ecuación y obtenemos “x”:

y=2

x+(2)+3.(2)=-8;

x=-16

Si nuestro sistema no es un sistema escalonado, lo podemos resolver mediante el método de Gauss. El método consiste en “hacemos cero”, es decir, sometemos a las ecuaciones a transformaciones elementales:

Multiplicamos por un número distinto de cero.
Sumar una ecuación a otra multiplicada por un número.

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss.
Primero se debe tener ya el sistema de ecuaciones que se quiere resolver y que puede ser de n numero de variables por ejemplo:

x + 2y - 3z = -16
3x + y - 2z = -10

2x - 3y + z = -4

Se acomodan los coeficientes y los resultados en una matriz:

* Método de Gauss Jordan

El método de Gauss-Jordan utiliza operaciones con matrices para resolver sistemas de ecuaciones de n numero de variables. Para aplicar este método solo hay que recordar que cada operación que se realice se aplicara a toda la fila o a toda la columna en su caso. El objetivo de este método es tratar de convertir la parte de la matriz donde están los coeficientes de las variables en una matriz identidad. Esto se logra mediante simples operaciones de suma, resta y multiplicación.

El procedimiento es el siguiente:

Primero se debe tener ya el sistema de ecuaciones que se quiere resolver y que puede ser de n numero de variables por ejemplo:

x + y + z = 3

2y + 3z = 15

2x + 4y 5z = 21

Se acomodan los coeficientes y los resultados en una matriz:

En el ejemplo, el 2 de la tercera fila se tiene que convertir en un 0, así que a la fila 3 le vamos a asignar la fila 3, menos 2 veces la fila 1, pero como una operación se aplica a toda la
fila, entonces toda la tercera fila se le tiene que aplicar la misma operación: 

Realizamos aparte la operación y luego sustituimos esos valores resultantes en la fila 3.

Seguimos cambiando los valores de la tercera fila con operaciones elementales.

El siguiente paso para lograr una matriz identidad es obtener 1 en la diagonal principal, que en este caso dividiríamos cada valor de la fila por 1 sobre el valor que haya en la fila.   
Las divisiones se las aplicamos a cada valor de la fila.

Al encontrar la matriz identidad se encuentra la solución del sistema de ecuaciones, pues esto se traduce a:
las cuales resuelven el sistema de ecuaciones de forma simultánea.

Como puede verse el método Gauss-Jordan es una herramienta útil en la resolución de
este tipo de problemas y actualmente existen programas matemáticos que lo utilizan para una gran variedad de cálculos en una gran variedad de áreas, tanto científicas como socioeconómicas.

* Regla de Cramer

En álgebra lineal, la regla de Cramer es una fórmula explícita para la solución de un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones como incógnitas.
La regla de Cramer es válida siempre que el sistema tenga una solución única.
La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones:
1. El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
2. El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas son sistemas compatibles determinados y se denominan sistemas de Cramer.

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes,

Todo sistema de Cramer tiene una sola solución (es decir, es un sistema compatible determinado) que viene dada por las siguientes expresiones:

donde $\Delta_{1},\Delta_{2},\Delta_{3},\dots,\Delta_{n}$ son los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.